数学百科知识:费马大定理

来源:学大教育    日期:2016-10-17 17:59:25

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费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。

它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。

被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

接力证明

1753年瑞士著名数学家欧拉,在给哥德巴赫的信中说,他证明了n=3时的费马猜想,1770年其证明发表在《代数指南》一书中,方法是“无限下降法”和形如a+根号(-3)数系的唯一因子分解定理,这一方法也被后人多次引用。

1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况,认为费马猜想应该成立,并称为为费马大定理(以区别费马关于同余的小定理),并为证明者设立大奖和奖章,费马大定理之谜从此进一步风靡全球。

费马自己证明了n=4的情形。

十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x,y,z至少有一个是n整倍数。在此基础上,1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立,用的是欧拉所用方法的延伸,但避开了唯一因子分解定理。

1839年,法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进,并证明了n=7的情形,他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具,只是难以推广到n=11的情形;于是,他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明,但没有成功。

1844年,库默尔提出了“理想数”概念,他证明了:对于所有小于100的素指数n,费马大定理成立,此一研究告一阶段。但对一般情况,在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。

1847年,巴黎科学院上演戏剧性一幕, 当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理,拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理,刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯入其中,似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信,明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立,于是拉梅和柯西的证明都是错的。

大约在1850年前后,高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的企图证明费马大定理的方法关键,于是他创立了一种“理想数环”理论,居说这一思想也受其老师高斯启发,高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣,实际上对n=7久思不解。学生库默尔运用独创的“理想素数”理论,一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立,使证明问题取得了第一次重大突破。

库默尔之后近半个世纪,费马大定理证明都停滞不前,直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿,由于勒贝格当时的权威声望,大家都以为这下问题解决了,但经过广泛传阅其证明稿件,人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。

悬赏求证

1908年,格丁根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖:凡在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家,年轻时曾为情所困决意在午夜自杀,但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明,设定自杀时间过了,他也放不下问题的证明,数学让他重生并后来成为大富豪,1908年这位富豪死时,遗嘱将其一半遗产捐赠设奖,以谢其救命之恩。

从此世界毎年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理,但全部都是错的,一些数学权威机构,不得不预写证明否定书。

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