数学百科知识:欧几里得算法

来源:学大教育    日期:2016-10-17 18:01:35

学习数学需要大家了解很多知识,这些知识有利于我们增长见识,下面学大教育网为大家带来数学百科知识:欧几里得算法,希望我们能够完全掌握这些数学知识,从而增加自己的学识。

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数,则有

d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

d | b , d |r ,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

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